高頻變壓器設計（二）馬的克士威-安培方程式－Hero's 部落格

在上一篇貼文中，定義了何謂高頻變壓器，以及提高變壓器輸入端的『電源頻率』（變壓器『操作頻率』或稱之為系統『切換頻率』），可以獲得哪些好處。俗話說有一好就沒兩好，拉高切換頻率相對的也產生一些副作用，接下來就來聊聊伴隨而來的問題有哪些？

磁滯損

根據法拉第定律延伸推導得知，拉高切換頻率可以用來降低繞線圈數Ｎ、降低磁通密度Ｂ或降低鐵芯截面積Ａ（有效導磁路徑的面積），不過一般而言工程師通常不會拿來交換磁通密度，每種導磁材料所能乘載的磁通量都有上限值，稱之為『飽和磁通』，用飽和磁通除以有效導磁路徑的截面積，就得到磁性材料的『飽和磁通密度』，這是一個材料廠商必需要提供的重要參數，可以說是材料廠商的競爭規格，也就是說當工程師選定鐵芯材質的當下，基本上就已經決定要用多少Ｂ值，在物盡其用才能降低成本的驅使之下，工程師根本不會想要浪費或是節省磁通密度，否則只會顯示出自己不夠專業，沒有選用合適的材質。

另一方面材料廠商通常都會依市場定位，將不同的兩種材質拉出一定的產品級距（兩者飽和磁通密度的差值）作為應用上的區隔，微調高頻變壓器磁通密度操作點的工作，一般通常都交由繞幾圈來負責。

高頻變壓器的導磁材料，還有另一項牽扯到切換頻率的重要競爭規格，稱為『磁滯損』它是變壓器鐵芯損失兩大來源之一，另一個則是『渦流損』。話說安培定律可以簡單地表示如下：

H・ℓ ＝Ｎ・𝐈 ........... 公式1

（Ｈ：磁場強度或磁動勢 ℓ ：有效導磁路徑Ｎ：圈數 𝐈 ：電流大小）

所以磁場強度有一種物理量，可以表示成：安匝/米（ampere-turns/m），在鐵芯上繞線圈然後通上電流，產生的磁場強度能驅使鐵芯內部產生磁通，又根據導磁路徑的面積大小，最後可以換算出對應到的磁通密度也就是Ｂ值，根據不同的材質就能個別繪出對應的磁滯曲線如下圖所示。用來在變壓器鐵芯內部產生磁通的電流，有個專有名詞稱為『激磁電流』，對變壓器而言一個完整的操作週期 Ts，可以看成激磁電流由最小值變到最大值又回到最小值所需的時間，激磁電流最小值可以為零也可以是負值，視電路架構而定，而整個操作週期的倒數，就是變壓器的切換頻率。

廢話了那麼多，只想表達為了建立變壓器鐵芯內部的磁場，輸入端會有一個電源電壓，然後產生一個電流值做激磁使用，又運作了一小段時間（切換週期），電壓乘電流再乘上時間不就等於功率Ｐ嘛！什麼事情都還沒做，只傻傻的切換一次就產生功耗，這就是鼎鼎大名的『磁滯損』。那如果繼續傻傻的一秒切換好幾次，不就產生更多的能量消耗，沒錯這就是變壓器提高切換頻率要付出最大的代價，磁滯損跟著被拉起來，好在材料廠商也一直在相互競爭，所以挑一個磁滯損較小的材質也是很重要的。

磁滯曲線.gif

圖（一）變壓器操作在一三象限的標準磁滯曲線

集膚效應

談完了切換頻率對高頻變壓器鐵芯的影響，接下來再聊聊提高切換頻率對變壓器繞線的影響，而最最最需要被考慮的莫過於『集膚效應』。這是一個微觀角度的物理現象，所以我們必須把視野縮小再縮小，聚焦觀察變壓器導線內部的狀況。老實說這個現象用數學推導來證明，就不得不提到一位相當麻煩的人物，道上人稱『馬克士威』( 英國數學物理學家 James Clerk Maxwell )，如果連這號人物都沒聽說過，想必您肯定是初入江湖的菜鳥，還想在這道上混下去的話，請先上維基百科Google一下。

話說一百多年前（西元1865 ）一代物理學宗師馬克士威，融合了安培、法拉第、高斯、歐姆、庫倫、空間向量等六大門派之學說精華，創立了一套獨門的內功心法，江湖上人稱『馬的克士威-方程組』。然而開宗立派之初期，因這套心法涉及到20種真氣運行法則（方程式），匯集多達20道不同之真氣（物理量）於一身，雖有無窮之威力潛藏於其內，可惜尚未發展出合適的外功與其搭配（向量微積分、散度與旋度運算子）即使是道上修練有成之行家，一時之間也是難以領悟，所以仍舊遭到當時各大門派之嘲諷與唾棄，批評這心法徒具形式且華而不實，根據野史的記載 [註1] ，當時潛心修練的內門弟子並不多。

然後一晃眼又過了十多年....（1880~1884），這時候突然有兩名外門弟子奧利弗·黑維塞（Oliver Heaviside）與約西亞·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）開創了能與其心法輔佐互補之外功，將那20道真氣的20種運氣方式，融合成電、磁、波、動四大絕學，後來江湖上統稱之為『馬的克士威四大定律』或『電磁學四大定律』圖（二）。具密探回報寶典內記載之口訣如下：

口訣一 ：電位移Ｄ（electric displacement field ）的散度等於自由電荷密度（ free electric charge density ），但不包含束縛電荷密度（ bound electric charge density ）。

口訣二 ：感應電動勢的旋度等於磁通密度的變化量加負號（負號是冷次定律）。

這口訣怎麼感覺跟上一篇提到的『法拉第定律』好像啊！小時候背誦的法拉第定律Ｖ＝Ｎ dΦ/dt 一樣要加個負號，Ｖ也是感應電壓，Φ＝ＢＡ，Ａ為導磁路徑截面積為常數，Ｖ＝-ＮＡdB/dt，感覺只差了ＮＡ跟倒三角叉叉，所以倒三角叉叉就等於1/NA .... 別鬧了如果這心法像傻Ｂ想的那麼簡單，那它怎麼可能成為傳說中的電、磁、波、動四大絕學之一？

但是傻Ｂ的感覺也沒錯，因為它的本質是一樣的，處理的都是同一事件，但是結果所要表達的意念是不同的。小時候學的是簡化後的線性四則運算（加減乘除），即使用到了一點點的微積分，但是用來計算的參數（運算元）都以純量形式表示（有效值、平均值或最大值），得到的結果也還是純量。而口訣二中的參數（Ｅ、Ｂ），其實是空間中三維向量函數表示法的簡寫，倒三角叉叉是向量微積分運算子，江湖上統稱為『旋度』，有其專屬的數學定義 [註3] ，當初想要解釋的，就是空間中有磁通密度向量變化時，能產生怎樣的感應電場（感應電動勢向量函數），該電場各個分量（ x軸、y軸、z軸）的函數又是如何變化呢？所以才需要發展新的外功『旋度運算』，來處理這項心法中的各道真氣。

口訣三 ：磁通密度Ｂ（ Magnetic Flux Density ）的散度等於零。

口訣四 ：磁場強度Ｈ的旋度等於傳導電流密度加上位移電流密度。電位移電場對時間微分＝位移電流密度。

這時候傻Ｂ又會覺得跟小時候學的『安培定律』很像，沒錯這也是同一件事，差別跟口訣二提到的一樣，小時候處理的是純量運算，這裡的分析用的是向量微積分，但是...但是...但是...這心法...最...最...最...厲害的地方終於出現了，就這一招威力強到讓大家幾乎忘記『安培掌門』的存在，『馬的克士威』心法就只多了一項小小的『位移電流』，立刻在仙劍大會上打趴雄霸一方多年的安培，為了與之區別，江湖上都改口稱這秒殺絕學為『馬的克士威-安培方程式』。

廢話了那麼多，無非是因為集膚效應的數學推導，必須要從這『馬的克士威-安培方程式』開始 ..... 欲知詳情！敬請期待下回....更精彩更刺激的高頻變壓器設計（三）『恐怖灰熊的證明！！！』不害怕的讀者『歡迎訂閱』！